Question

17．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）
（1）设b_n=a_n+1-a_n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2），得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）（n≥2），结合b_n=a_n+1-a_n可证数列{b_n}是等比数列；
（2）由（1）中等比数列的通项公式可得${b}_{n}={2}^{n}$，即${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$，再由累加法求得数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：由a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2），得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）（n≥2），
∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n=2b_n-1（n≥2），
又a₁=2，a₂=4，∴b₁=a₂-a₁=4-2=2，
则$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=2（n≥2）$，
数列{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）∵数列{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴${b}_{n}={2}^{n}$，即${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+2=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}+2$=2ⁿ．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，属中档题．