Question

（14分）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）用表示，并求的最大值；
（2）判断当时，的大小，并证明．

Answer 1

（1）．
（2）．证明见解析。

(I)设公共点为,然后利用导数求出此点处的切线，根据切线重合.解出切点的横坐标，从而可找到b关于a的表达式.然后再利用导数研究其最值即可.
（2）本小题可构造函数，然后利用导数研究其最值，从而比较出f(x)与g(x)的大小关系.
（1）设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（2）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是.
故当时，有，即当时，．