Question

已知函数f（x）=x³+ax²-9x-1；
（Ⅰ）若x=-1是函数f（x）的一个极值点，求：（1）a的值；（2）函数f（x）在区间[-2，5]上的最大值与最小值．
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）在R上单调递增；若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）由f′（x）=3x²+2ax-9和x=-1是函数f（x）的一个极值点，能求出a=-3．
（2）由a=-3，知f′（x）=3x²-6x-9，f（x）=x³-3x²-9x-1，由此能求出函数f（x）在区间[-2，5]上的最大值与最小值．
（Ⅱ）假设存在实数a，使f（x）在R上单调递增，则f′（x）=3x²+2ax-9＞0的解集为R，由此能推导出不存在实数a，使f（x）在R上单调递增．

解答：解：（Ⅰ）（1）∵f（x）=x³+ax²-9x-1，
∴f′（x）=3x²+2ax-9，
∵x=-1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（-1）=3-2a-9=0，
解得a=-3．
（2）∵a=-3，∴f′（x）=3x²-6x-9，f（x）=x³-3x²-9x-1，
由f′（x）=3x²-6x-9=0，得x=-1，或x=3．
∵x∈[-2，5]，-1∈[-2，5]，3∈[-2，5]，
f（-2）=-8-12+18-1=-3；
f（-1）=-1-3+9-1=4；
f（3）=27-27-27-1=-28；
f（5）=125-75-45-1=4．
∴函数f（x）在区间[-2，5]上的最大值为4，最小值为-28．
（Ⅱ）假设存在实数a，使f（x）在R上单调递增，
则f′（x）=3x²+2ax-9＞0的解集为R，
∴△=4a²+108＜0
∵△=4a²+108≥108，
∴△＜0不成立．
所以，不存在实数a，使f（x）在R上单调递增．

点评：本题考查导数求函数的极值和最值时的应用，考查函数在R上是增函数的性质的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想、分类讨论思想、函数方程思想的合理运用．