Question

已知函数f(x)=2sin(2x-

π

4

)(x∈R)．
（1）求此函数的最小正周期与最值．
（2）当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据y=Asin（ωx+φ）的形式的周期公式即可求得周期，利用正弦函数的性质，即可求得f（x）的值域；
（2）研究正弦函数在区间[

π

4

，

3π

4

]上的单调性，从而可求出函数f（x）的最值，得到取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=2sin(2x-

π

4

)(x∈R)，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
∵x∈R，
∴-1≤sin(2x-

π

4

)≤1，
∴f（x）的最大值为2，f（x）最小值为-2；
（2）当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，

π

4

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
由正弦函数的单调性知，当x∈[

π

4

，

3π

8

]时，f（x）递增，
当x∈[

3π

8

，

3π

4

]时，f（x）递减，
∴x=

3π

8

时，f（x）取最大值2，
当x=

π

4

时，f（x）=2•

2

2

=

2

，
当x=

3π

4

时，f（x）=2•(-

2

2

)=-

2

，
∴f（x）的最小值-

2

，
故f（x）的取值范围为[-

2

， 2]．

点评：本题考查了形如y=Asin（ωx+φ）的形式的周期性，以及最值的求解．一般情况下，要研究形如y=Asin（ωx+φ）的形式的函数，都会将ωx+φ看作一个整体，利用正弦函数和余弦函数的图象和性质求解．属于中档题．