Question

18．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为x的正四棱柱，
（1）用x表示正四棱柱的侧面积；
（2）x为何值时，正四棱柱的侧面积最大？

Answer 1

分析 （1）设四棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，可得y=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，由此用x表示正四棱柱的侧面积；
（2）由（1）可得S_侧=-2$\sqrt{6}$（x-$\sqrt{2}$）²+4$\sqrt{6}$，结合二次函数的单调性与最值，可得结论．

解答 解：（1）设四棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则有$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{2}=\frac{\sqrt{16-4}-y}{\sqrt{16-4}}$
则y=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴S_侧=4x×y=4x（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x）（0＜x＜2$\sqrt{2}$）
（2）S_侧=-2$\sqrt{6}$（x-$\sqrt{2}$）²+4$\sqrt{6}$，
则当x=$\sqrt{2}$时，S_侧有最大值．
即四棱柱的侧面积最大时，该四棱柱的底面边长为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用几何体的轴截面分析量的等量关系，注意不同量的转化．