Question

9．已知命题$p：?x∈R，sinx+cosx≤\sqrt{2}$，命题$q：?{x_0}∈R，{2^{x_0}}＜x_0^2$，下列四个命题：p∨（?q），（?p）∧q，（?p）∨（?q），p∧q中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 运用两角和的正弦公式，化简可得sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由正弦函数的值域，即可判断p真；再由x₀=3，即可判断q真，进而得到￢p，￢q均为假命题．结合复合命题的真值表，即可得到真命题的个数．

解答 解：由sinx+cosx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
由x∈R，可得sinx+cosx≤$\sqrt{2}$，则p为真命题；
当x₀=3，可得2${\;}^{{x}_{0}}$=2³=8，x₀²=3²=9，8＜9，则q为真命题．
即有￢p为假命题，￢q为假命题．
所以p∨（?q）为真命题，（?p）∧q为假命题，
（?p）∨（?q）为假命题，p∧q为真命题．
故真命题的个数为2，
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断和应用，主要是复合命题的真假，注意运用真值表，同时考查三角函数的图象和性质，以及判断能力和化简能力，属于中档题．