Question

19．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sinx，sinx），\overrightarrow n=（cosx，sinx）$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$且$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求角x；
（Ⅱ）若$f（x）=\overrightarrow{m•}\overrightarrow n$，求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析 （I）利用向量平行得到$tanx=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或sinx=0，根据x的范围即可求出；
（Ⅱ）利用平面向量的数量积运算法则化简f（x）解析式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个叫角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；根据正弦函数的递增区间求出x的范围，即为函数f（x）的递增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
∴$\sqrt{3}$sin²x-sinxcosx=0
∴$tanx=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或sinx=0，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$x=\frac{π}{6}$或x=0；
（Ⅱ）∵$f（x）=\overrightarrow{m•}\overrightarrow n$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$
周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴单调递增区间为$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]，k∈Z$．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．