Question

9．已知函数f（x）=x³+x．
（1）求定积分$\int_{-3}^3{（{f（x）+{x^2}}）dx}$的值；
（2）若曲线y=f（x）的一条切线经过点（0，-2），求此切线的方程．

Answer 1

分析 （1）由f（x）为奇函数，积分为0，再由偶函数的图象，结合积分的公式，计算即可得到所求值；
（2）设切点为（m，m³+m），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，解方程可得切点的横坐标，进而得到切线的斜率和方程．

解答 解：（1）$\int_{-3}^3{（{f（x）+{x^2}}）dx=\int_{-3}^3{f（x）dx+\int_{-3}^3{{x^2}dx}}}$，
∵f（x）=x³+x是奇函数，y=x²是偶函数，
∴$\int_{-3}^3{f（x）dx=0}$，$\int_{-3}^3{{x^2}dx}=2\int_0^3{{x^2}dx=2×\frac{1}{3}{x^3}\left|{\begin{array}{l}3\\ 0\end{array}=18}\right.}$，
∴$\int_{-3}^3{（{f（x）+{x^2}}）dx=18}$．
（2）设切点为（m，m³+m），
f（x）=x³+x的导数为f′（x）=3x²+1，
∵f′（m）=3m²+1，
∴$\frac{{{m^3}+m+2}}{m}=3{m^2}+1$，
∴m³+m+2=3m²+m，
∴m³=1，∴m=1．
故切点为（1，2），
且该切线的斜率为4，
则此切线的方程为y-2=4（x-1）
即y=4x-2．

点评 本题考查定积分的运算，注意运用积分的性质和公式，考查切线的方程的求法，注意运用导数，设出切点和运用两点的斜率公式，解方程是解题的关键，属于中档题．