Question

17．已知P是曲线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$lnx上的动点，Q是直线y=$\frac{3}{4}$x-1上的动点，则PQ的最小值为$\frac{2-2ln2}{5}$．

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义求出切点坐标，欲求P到直线y=$\frac{3}{4}$x-1的距离的最小值即求切点到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），
由y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$lnx的导数为y′=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，
令$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$=$\frac{3}{4}$，
可得x=2，
所以切点为（2，1-$\frac{1}{2}$ln2），
它到直线y=$\frac{3}{4}$x-1即3x-4y-4=0的距离d=$\frac{|6-4+2ln2-4|}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{2-2ln2}{5}$．
即点P到直线y=$\frac{3}{4}$x-1的距离的最小值为$\frac{2-2ln2}{5}$．
故答案为：$\frac{2-2ln2}{5}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．