Question

20．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=$\frac{5}{13}$，tan$\frac{B}{2}+cot\frac{B}{2}=\frac{10}{3}$，c=21；
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据弦切之间的关系对tan$\frac{B}{2}+cot\frac{B}{2}=\frac{10}{3}$进行化简，再由二倍角公式可得到sinB的值，结合cosA的值可判断B为锐角，进而由sinC=sin（A+B）根据两角和与差的正弦公式和（1）中的sinB，sinA，cosB，cosA的值可求得sinC的值．
（2）再由正弦定理可求得a的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案．

解答 解：（1）由tan$\frac{B}{2}+cot\frac{B}{2}=\frac{10}{3}$=$\frac{si{n}^{2}\frac{B}{2}+co{s}^{2}\frac{B}{2}}{sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}}$=$\frac{1}{sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}}$，
得sinB=$\frac{3}{5}$，
∵cosA=$\frac{5}{13}$，∴sinA=$\frac{12}{13}$＞sinB，∴B为锐角，可得cosB=$\frac{4}{5}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{63}{65}$．
（2）∵c=21，
∴a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{21×\frac{12}{13}}{\frac{63}{65}}$=20，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×20×21×$\frac{3}{5}$=126．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的公式、正弦定理的应用，三角函数内的公式比较多，容易记混，在平时一定要多注意积累，到考试时才能做到游刃有余，属于基础题．