Question

已知圆A：（x-2）²+y²=1，曲线B：6-x=

4-y2

和直线l：y=x．
（1）若点M、N、P分别是圆A、曲线B和直线l上的任意点，求|PM|+|PN|的最小值；
（2）已知动直线m：（a-2）x+by-2a+3=0（a，b∈R）与圆A相交于S、T两点，又点Q的坐标是（a，b）．
①判断点Q与圆A的位置关系；
②求证：当实数a，b的值发生变化时，经过S、T、Q三点的圆总过定点，并求出这个定点坐标．

Answer 1

分析：（1）化简曲线B得到它是以（6，0）为圆心、半径r=2的圆的左半部分．作圆A关于直线l对称的圆C，设M关于l的对称点M₁，利用对称的知识和三角形两边之和大于第三边，可得当M₁、N、P三点共线时，|PM|+|PN|=|M₁N|达到最小值，再由两圆的位置关系和距离公式加以计算，可得|PM|+|PN|的最小值；
（2）①由题意得点A到直线m的距离小于半径，利用点到直线的距离公式列式解出|AQ|=

(a-2)2+b2

＞1，可得点Q在圆A的外部；
②利用直线的斜率公式，算出k_AQ•k_ST=-1，得AQ、ST互相垂直．设AQ、ST的交点为H，算出|AS|²=|AH|•|AQ|，从而得出AS⊥SQ，同理得到AT⊥TQ，所以A、S、T、Q四点在以AQ为直径的圆上，由此可得过S、T、Q三点的圆总过定点A，得到答案．

解答：解：（1）化简曲线B：6-x=

4-y2

，得（x-6）²+y²=4（x≤6）
∴曲线B是以（6，0）为圆心、半径r=2的圆的左半部分．
作圆A关于直线l对称的圆C：x²+（y-2）²=1，设M关于l的对称点M₁，
则|PM|+|PN|=|PM₁|+|PN|≥|M₁N|，
当且仅当M₁、N、P三点共线时，等号成立．
∵|M₁N|的最小值为|CB|-1-2=

(6-0)2+(0-2)2

-3=2

10

-3，
∴|PM|+|PN|的最小值等于2

10

-3；
（2）①∵圆A的圆心A（2，0）到直线m的距离为
d=

|2(a-2)-2a+3|

(a-2)2+b2

=

1

(a-2)2+b2

＜1，
∴

(a-2)2+b2

＞1，可得点Q到圆心A的距离大于半径，因此点Q在圆A的外部；
②∵AQ的斜率k_AQ=

b

a-2

，ST的斜率k_ST=-

a-2

b

∴k_AQ•k_ST=

b

a-2

•（-

a-2

b

）=-1，可得AQ、ST互相垂直．
设AQ、ST的交点为H，则
∵|AS|²=1，|AH|=

1

(a-2)2+b2

，|AQ|=

(a-2)2+b2

，
∴|AS|²=|AH|•|AQ|，可得AS⊥SQ．
同理可得AT⊥TQ，所以A、S、T、Q四点共圆，所在圆是以AQ为直径的圆．
因此，经过S、T、Q三点的圆必定经过点A（2，0）．

点评：本题着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程、点到直线的距离公式、圆的几何性质和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．