Question

已知圆A：（x+2）²+y²=32，圆P过定点B（2，0）且与圆A内切．
（1）求圆心P的轨迹方程C；
（2）过Q（0，3）作直线l交P的轨迹C于M、N两点，O为原点．当△MON面积最大时，求此时直线l的斜率．

Answer 1

解：（1）由题意，两圆相内切，故|PA|=4-|PB|，即|PA|+|PB|=4．
又∵AB=4＜4
∴动圆的圆心P的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆．
动点P的轨迹方程为．
（2）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：x=m（y-3），直线与x轴的交点为A（-3m，0）
S_△MON=|OA|•|y₁-y2|
把x=m（y-3），代入椭圆方程，得m²（y-3）²+2y²-8=0，
即（m²+2）y²-6m²y-8+9m²=0，△=64-40m²＞0，?m²
y₁+y₂=，y₁y₂=，
|y₁-y₂|==
∴S_△AOB=|3m|==3，令t=，
所以S_△AOB=≤，当t=时，即m²=时面积取得最大值．
此时直线的斜率为：．
分析：（1）利用动圆P与定圆（x+2）²+y²=32相内切，以及椭圆的定义，可得动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：y=kx+3，通过S_△MON的表达式求出△OAB的面积的最大值时直线l的斜率．
点评：本题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法以及斜率的求法，解题时要注意公式的灵活运用，此题有一定难度．