Question

已知圆A：（x+2）²+y²=

25

4

和圆B：（x-2）²+y²=

1

4

，若圆P与圆A、圆B均外切，
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，若PQ的中点R在直线l：x=a（a≤

1

2

）上的射影C满足：

PC

•

QC

=0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两圆外切的性质得PA-PB=2，再由双曲线的定义知点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，
 依据双曲线的性质求出双曲线的方程．
（Ⅱ） 由直角三角形的性质得RC=

PQ

2

=x_R-a，把PQ的方程的方程代入双曲线方程，利用判别式以根与系数的
关系，得到k²的范围，由弦长公式求出PQ，结合k²的范围求出a 的范围．

解答：解：（Ⅰ）设动圆的半径为r，则PA=r+

5

2

，PB=r+1，两式相减得PA-PB=2，
由双曲线的定义知点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，由A（-2，0），B（2，0），
故 2a=2，c=2，∴b=

3

，故其方程为x²-

y2

3

=1（x≥1）．
（Ⅱ）由

PC

•

QC

=0知，

PC

⊥

QC

，故P、Q、C 构成直角三角形，点R到直线l的距离等于
RC=

PQ

2

=x_R-a  ①．
当PQ的斜率不存在时，R与 B重合，a=-1，满足条件．
当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为 y=k（x-2），代入双曲线方程得：（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，
则由

△＞0 x1+x2= 4k2 3-k2 ＞0 x1•x2= 4k2+3 3-k2 ＞0

 解得 k²＞3，且 x_R=

x1+x2

2

=

2k2

k2-3

，
PQ=

1+k2

•|x₁-x₂|=

6(k2+1)

k2-3

，代入①可得 a=

-k2-3

k2-3

=-1-

6

k2-3

，
由 k²＞3，得 a＜-1．
综上，a≤-1．

点评：本题考查双曲线的定义，直线和圆，圆和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想．由直角三角形PQC中，
得到RC=

PQ

2

=x_R-a 是解题的突破口．