【题目】如图，在三棱柱
中，已知
是直角三角形，侧面
是矩形，
，
，
.
（1）证明：
.
（2）
是棱
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据
是直角三角形，
，得到
，再根据侧面
是矩形，得到
，然后利用线面垂直的判定定理得到
平面
，从而
，在平行四边形
中，得到
，再利用线面垂直的判定定理得到
平面
即可.
（2）根据（1）以
为坐标原点，分别以
，
，
为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面
的一个法向量，
的坐标，由线面角的向量公式求解.
（1）证明：因为是直角三角形，，
所以.
因为侧面是矩形，所以.
因为
，所以平面，
从而.
因为
，
，
，
所以
，即.
因为
，
所以平面.
所以
.
（2）由（1）知，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
.
设平面的一个法向量为
，
由
，得
令
，得
.
又
，
设直线
与平面所成角的大小为
，
则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
．过焦点且垂直于
轴的直线与椭圆
相交所得的弦长为3，直线
与椭圆相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的直线
与椭圆相交于
，
两点，若
，问直线是否存在？若存在，求直线的斜率
的取值范围；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，已知曲线
的参数方程：
（
为参数），以坐标原点为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的普通方程；
（2）过曲线上一点
作直线
与曲线交于
两点，中点为
，
，求
的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】我国是世界上严重缺水的归家之一，某市为了制订合理的节水方案，对家庭用水情况进行了抽样调查，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：
）的数据，将这些数据按照
，
，
，
，
，
，
，
，
分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的
值，若该市有30万个家庭，试估计全市月均用水量不低于
的家庭数；
（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计全市家庭月均用水量的平均数；
（3）现从月均用水量在，的家庭中，先按照分层抽样的方法抽取9个家庭，再从这9家庭中抽取4个家庭，记这4个家庭中月均用水量在中的数量为
，求的分布列及数学期望.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】我国新型冠状病毒肺炎疫情期间，以网络购物和网上服务所代表的新兴消费展现出了强大的生命力，新兴消费将成为我国消费增长的新动能.某市为了了解本地居民在2020年2月至3月两个月网络购物消费情况，在网上随机对1000人做了问卷调查，得如下频数分布表：
网购消费情况（元） |
|
|
|
|
|
频数 | 300 | 400 | 180 | 60 | 60 |
（1）作出这些数据的频率分布直方图，并估计本市居民此期间网络购物的消费平均值；
（2）在调查问卷中有一项是填写本人年龄，为研究网购金额和网购人年龄的关系，以网购金额是否超过4000元为标准进行分层抽样，从上述1000人中抽取200人，得到如下列联表，请将表补充完整并根据列联表判断，在此期间是否有95%的把握认为网购金额与网购人年龄有关.
网购不超过4000元 | 网购超过4000元 | 总计 | |
40岁以上 | 75 | 100 | |
40岁以下（含40岁） | |||
总计 | 200 |
参考公式和数据：
.（其中
为样本容量）
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，且点
在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点
的直线与椭圆交于
，
两点，在直线
上存在点
，使三角形
为正三角形，求
的最大值.
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