Question

13．某市旅游节需在A大学和B大学中分别招募8名和12名志愿者，这20名志愿者的身高（单位：cm）绘制出如图所示的茎叶图．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有B大学的“高个子”才能担任“兼职导游”．
（1）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，现从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，从而可得5人中“高个子”为2人，“非高个子”为3人，从而可求至少有1人为高个子的概率P=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$；                                                                                                                                               （2）由题意可知：ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．

解答 解：（1）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，
∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5×$\frac{8}{20}$=2人，“非高个子”为5×$\frac{12}{20}$=3人，
则至少有1人为高个子的概率P=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，
至少有1人是“高个子”的概率是$\frac{7}{10}$；
（2）由题可知：B大学的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3；
故P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{10}{56}$=$\frac{5}{28}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{30}{56}$=$\frac{15}{28}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，
即ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

E（ξ）=0×$\frac{5}{28}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{15}{56}$+3×$\frac{1}{56}$=$\frac{9}{8}$，
随机变量ξ的数学期望E（ξ）=$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查计算能力，属于中档题．