Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若函数f(x)=2

x

确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求{b_n}的通项公式；
（2）对（1）中{b_n}，不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设cn=

1+(-1)λ

2

•3n+

1-(-1)λ

2

•(2n-1)(λ为正整数)，若数列{c_n}的反数列为{d_n}，{c_n}与{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}，求数列{t_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）f(x)=2

x

(x≥0)?an=2

n

，f-1(x)=

x2

4

(x≥0)，由此能求出数列{a_n}的反数列为{b_n}的通项公式．（2）把不等式化为

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)，Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，数列{T_n}单调递增，所以（T_n）_min=T₁=1，要使不等式恒成立，只要1＞

1

2

loga(1-2a)，由此能求出使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围．
（3）设公共项t_k=c_p=d_n，k、p、q为正整数，当λ为奇数时，t_n=2n-1，{t_n}的前n项和S_n=n²．当λ为偶数时，t_n=3ⁿ，{t_n}的前n项和Sn=

3

2

(3n-1)．

解答：解：（1）f(x)=2

x

(x≥0)?an=2

n

（n为正整数），f-1(x)=

x2

4

(x≥0)
所以数列{a_n}的反数列为{b_n}的通项bn=

n2

4

（n为正整数）（2分）
（2）对于（1）中{b_n}，不等式化为

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)..（3分）
Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，
∴数列{T_n}单调递增，（5分）
所以（T_n）_min=T₁=1，要是不等式恒成立，只要1＞

1

2

loga(1-2a)．（6分）
∵1-2a＞0，∴0＜a＜

1

2

，又1-2a＞a2，0＜a＜

2

-1
所以，使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是(0，

2

-1)..（8分）
（3）设公共项t_k=c_p=d_n，k、p、q为正整数，
当λ为奇数时，cn=2n-1，dn=

1

2

(n+1)（9分）
2p-1=

1

2

(p+1)，q=4p-3，则{c_n}?{b_n}（表示{c_n}是{b_n}的子数列），t_n=2n-1
所以{t_n}的前n项和S_n=n²..（11分）
当λ为偶数时，c_n=3ⁿ，d_n=log₃n（12分）
3q=log₃q，则q=33p，同样有{c_n}?{b_n}，t_n=3ⁿ
所以{t_n}的前n项和Sn=

3

2

(3n-1)（14分）

点评：本题考查数列通项公式的求法、实数的取值范围和前n项和的求法，解题时要注意导数的合理运用和分类讨论思想的灵活运用．