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    已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).

    (1)求抛物线C的方程;

    (2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.


    解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则

    =1,所以抛物线C的方程为x2=4y.

    (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.

    由消去y,整理得x2-4kx-4=0,

    所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.

    由

    解得点M的横坐标xM===.

    同理,点N的横坐标xN=.

    所以|MN|=|xM-xN|=

    =8

    =.

    令4k-3=t,t≠0,则k=.

    当t>0时,|MN|=2>2.

    当t<0时,|MN|=2≥.

    综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.


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