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    已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.

    (1)求抛物线方程及其焦点坐标;

    (2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.


    解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y2=2px上,

    ∴4=2p×2,∴p=1.

    ∴抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为.

    (2)显然,直线l斜率存在,且不为0.

    设l斜率为k,则l方程为y=k(x-2).

    由

    得ky2-2y-4k=0,

    设A,B.

    则y1+y2=,y1·y2=-4.

    ∵kEA===.

    ∴EA方程为y-2=(x-2).

    令x=-2,得y=2-=.

    ∴M.

    同理可求得N.

    ∴·=·

    =4+

    =4+

    =0

    ∴⊥.

    即∠MON=90°,

    ∴∠MON为定值.


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