Question

已知函数f(x)=

3-ax

a-1

(a≠1)．
（1）若a＜0，则f（x）的定义域为

[

3

a

，+∞)

；
（2）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，则实数a的取值范围为

（0，1）

．

Answer 1

分析：（1）根据使函数解析式有意义的原则，构造不等式，结合a＜0，解不等式，可又求出函数的定义域；
（2）根据一次函数单调性与一次项系数的关系，幂函数的单调性，复合函数的单调性及kf（x），当k为正时与f（x）单调性相同，当k为负时与f（x）单调性相反，分类讨论可得f（x）在区间（0，1]上是增函数时，实数a的取值范围．

解答：解：（1）要使函数f(x)=

3-ax

a-1

(a≠1)的解析式有意义
3-ax≥0，由a＜0
解得x≥

3

a

∴f（x）的定义域为[

3

a

，+∞)
（2）由（1）得：当a＜0时，y=

3-ax

为增函数，此时a-1＜0
此时f（x）在区间[

3

a

，+∞)为减函数，
则在区间（0，1]上是减函数，不满足条件；
当a=0时，f（x）=-

3

，此时函数不具单调性，不满足条件；
当0＜a＜1时，y=

3-ax

为减函数，此时a-1＜0
此时f（x）在区间[

3

a

，+∞)为增函数，满足条件；
当a＞1时，y=

3-ax

为减函数，此时a-1＞0
此时f（x）在区间[

3

a

，+∞)为减函数，不满足条件；
综上所述，实数a的取值范围为（0，1）
故答案为：[

3

a

，+∞)，（0，1）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数的定义域及其求法，其中熟练掌握基本初等函数的单调性和复合函数单调性的确定方法是解答的关键．