Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n-4（n∈N^*）．
（1）去数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2n

anan+1

，记T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）运用n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，得到a_n=2a_n-1-1，再构造等比数列，即可得到通项；
（2）化简b_n，写成差的形式，再由裂项相消求和，即可得到不等式成立．

解答： （1）解：由于S_n=2a_n+n-4（n∈N^*），
则n=1，时，a₁=S₁=2a₁+1-4，解得，a₁=3，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-4-（2a_n-1+n-1-4）
则有a_n=2a_n-1-1，
则令a_n+t=2（a_n-1+t），即有t=-1，
则a_n-1=（a₁-1）•2^n-1=2ⁿ，则有a_n=2ⁿ+1；
（2）证明：b_n=

2n

anan+1

=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+1+1

=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

．
故T_n＜

1

3

．

点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查构造等比数列求通项的方法，考查数列求和的方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．