Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）．
（1）函数y=f（x）是否可能在R上是单调函数？若可能，求出实数a的取值范围．
（2）若函数y=f（x）在区间（0，

2

3

）上递增，在区间（1，+∞）上递减，求出实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，若函数在R上为单调增函数，所以导函数对应方程的判别式△≤0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围，（2）求导令f'（x）=0，依题意对导函数符号做出分析．

解答： 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2ax，
若f（x）在R上单调，只需△≤0，即4a²+12≤0即a=0，
此时f′（x）≤0，f（x）在R上递减；
（2）由于函数f（x）=-x³+ax²+1（a∈R），
则导函数f′（x）=-3x²+2ax=x（-3x+2a），
则f'（x）=0 有两根x₁=0 x₂=

2a

3

，
又函数y=f（x）在区间（0，

2

3

）上递增，在区间（1，+∞）上递减，
则要求在区间（0，

2

3

）上，导函数f′（x）≥0；
且在区间（1，+∞）上，导函数f′（x）≤0，
所以

2

3

≤x₂≤1，即

2

3

≤

2a

3

≤1，
解得1≤a≤

3

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，掌握二次函数恒成立时所取的条件，属于综合题．