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    【题目】已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点.

    （1）求抛物线的标准方程；

    （2）斜率为的直线与抛物线交于、两点，点是线段的中点，求直线的方程，并求线段的长.

    【答案】（1）（2）直线的方程为：，线段的长为.

    【解析】

    (1)点的坐标代入抛物线方程即可求得p，从而得到抛物线方程；(2)设出直线方程且与抛物线方程联立求出，的表达式，根据为的中点列出方程求出k，即可求得直线方程及、的值，代入弦长公式即可得解.

    （1）由题意知，抛物线开口向右，设方程为.

    ∵在抛物线上，∴，，∴抛物线的方程为.

    （2）由题意，设直线的方程为：，

    联立，消得.

    由已知，，. ①

    设，，则，.

    ∵为的中点，∴，

    解得，代入①式检验，得，符合题意.

    ∴直线的方程为：.

    此时，，，

    ∵，

    ∴.

    ∴直线的方程为：，线段的长为.

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