Question

已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x-1）≤2；
（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a-3≥f（ax）-af（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）分当x≤1时、当1＜x≤2时、当x＞2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）当a＞0时，利用绝对值三角不等式可得f（ax）-af（x）≤|a-1|，结合题意可得2a-3≥|a-1|，由此解得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x≤1时，-2x+3≤2，即

1

2

≤x≤1．
当1＜x≤2时，1≤2，即 1＜x≤2．
当x＞2时，2x-3≤2，即2＜x≤

5

2

．
综上所述，原不等式的解集为{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．
（Ⅱ）当a＞0时，f（ax）-af（x）=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|，
所以，2a-3≥|a-1|，解得a≥2．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．