Question

16．已知O是坐标原点，点A（-1，0），若M（x，y）为平面区域$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1y≤2}\\{\;}\end{array}\right.$上的一个动点，则|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}$|的取值范围是[1，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把||转化为可行域内的点M（x，y）到定点N（1，0）的距离，数形结合可得答案．

解答 解：$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}$=（-1，0）+（x，y）=（x-1，y），
则|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
设z=|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
则z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，
由约束条件作平面区域如图，

由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，
1≤z≤$\sqrt{5}$，
即$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的取值范围是[1，$\sqrt{5}$]，
故答案为：[1，$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合、转化与化归等解题思想方法，考查了向量模的求法，是中档题．