Question

7．已知函数f（x）=$\frac{sin2x（sinx+cosx）}{cosx}$=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（1）根据题意函数f（x）=$\frac{sin2x（sinx+cosx）}{cosx}$=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1．
∵2x$-\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}+2kπ$，$\frac{3π}{2}+2kπ$]上是单调递减区间
即：$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
解得$[{\frac{3π}{8}+kπ，\frac{7π}{8}+kπ}]k∈Z$，
即函数f（x）的单调减区间为$[{\frac{3π}{8}+kπ，\frac{7π}{8}+kπ}]k∈Z$．
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上，
∴2x$-\frac{π}{4}$∈[$-\frac{7π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上，
当2x$-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$时，即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最大值为2；
当2x$-\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}$时，即x=$-\frac{π}{8}$时，f（x）取得最小值为$1-\sqrt{2}$；
故得f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值分别为2和$1-\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．