Question

7．设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a为实数，若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，∞）上有最小值，则a的取值范围是（　　）

• A． （e，+∞）
• B． [e，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．

解答 解：函数f（x）的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≤0，则在（1，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{1}{x}$，在（1，+∞）上恒成立，
∵$\frac{1}{x}$＜1，∴a≥1．
g′（x）=e^x-a，
∵g（x）在（1，∞）上有最小值，
∴函数g（x）在g（x）在（1，∞）上不单调，
即g′（x）=e^x-a≥0不恒成立，
即e^x-a＜0在（1，∞）上有解，
即a＞e^x在（1，∞）上有解，
即a＞e，
综上a＞e，
故选：A

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．