Question

16．已知函数y=f（x）满足f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x-$\frac{π}{2}$），求证：函数y=f（x）是周期函数．

Answer 1

分析 由已知中函数y=f（x）满足f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x-$\frac{π}{2}$），可得f（x+π）=f（x），根据函数周期性的定义，可得结论．

解答 证明：∵函数y=f（x）满足f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x-$\frac{π}{2}$），
∴f（x+π）=f[（x+$\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{2}$]=f[（x+$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{2}$]=f（x），
故函数y=f（x）是以π为周期的函数．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，若f（x+a）=f（x-b），则|a+b|是函数的一个周期，是常用的结论．