Question

8．已知函数f（x）=x²-alnx，g（x）=bx-$\sqrt{x}$+2，其中a，b∈R，且ab=2，函数f（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上是减函数，函数g（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上是增函数．
（1）求函数 f（x），g（x）的表达式；
（2）若不等式f（x）≥mg（x）对x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出函数f（x），g（x）的导数，集合函数的单调性，分别求出其导数的最大值和最小值，得到a，b的范围，从而求出a，b的值，求出函数的解析式；
（2）通过讨论m的范围，得到函数的单调性，求出相对应的函数的最值，进而综合求出m的范围．

解答 解：（1）∵f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-a}{x}$，
要使函数f（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上是减函数，
∴f′（x）_max=f′（1）=2-a≤0，
解得：a≥2①，
若函数g（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上是增函数，
则g′（x）_min=g′（1）=b-$\frac{1}{2}$≥0，
即$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{2}$≥0，解得：0＜a≤2②，
由①②得：a=2，b=1，
∴f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-$\sqrt{x}$+2；
（2）m=0时，不等式显然成立，
当m＞0时，在[$\frac{1}{4}$，1]上，f（x）减，g（x）增，
要不等式恒成立，则f（1）≥mg（1）即1≥2m，
∴0＜m≤$\frac{1}{2}$，
当m＜0时，在[$\frac{1}{4}$，1]上，
有f（x）_min=f（1）=1＞（mg（x））_max=mg（$\frac{1}{4}$）=$\frac{7}{4}$m，
∴不等式恒成立，综上：m的范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．