Question

20．已知f（$\frac{1}{x}$）=x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$（x＞0），则f（x+1）=$\frac{1+\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}{x+1}$．

Answer 1

分析 利用换元法先求出函数的解析式即可得到结论．

解答 解：设t=$\frac{1}{x}$，则x=$\frac{1}{t}$，则t＞0，
则f（t）=$\frac{1}{t}$+$\sqrt{1+（\frac{1}{t}）^{2}}$=$\frac{1}{t}$+$\frac{\sqrt{1+{t}^{2}}}{t}$，
则f（x+1）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{\sqrt{1+（1+x）^{2}}}{1+x}$=$\frac{1+\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}{x+1}$，
故答案为：$\frac{1+\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}{x+1}$

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用换元法和代入法是解决本题的关键．