Question

15．已知等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，其前n项和为S_n，若直线y=$\frac{1}{2}$a₁x+m与圆（x-2）²+y²=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称，则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100项和=（　　）

• A． $\frac{100}{101}$
• B． $\frac{99}{100}$
• C． $\frac{98}{99}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用直线y=$\frac{1}{2}$a₁x+m与圆（x-2）²+y²=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称，可得a₁=2，d=2，利用等差数列的求和公式求出S_n，再用裂项法即可得到结论．

解答 解：∵直线y=$\frac{1}{2}$a₁x+m与圆（x-2）²+y²=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称，
∴a₁=2，2-d=0
∴d=2
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+n
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100项和为1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．
故选：A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．