Question

2．已知函数f（x）=x²+2x•tanθ-1，x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（1）当θ=-$\frac{π}{6}$时，求f（x）的最大值和最小值．
（2）求使f（x）在区间[-1，$\sqrt{3}$]上是单调函数的θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当θ=-$\frac{π}{6}$时，函数f（x）=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-1的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$为对称轴的抛物线，结合二次函数的图象和性质，可得函数的最值；
（2）若f（x）在区间[-1，$\sqrt{3}$]上是单调函数，则-tanθ≤-1，或-tanθ≥$\sqrt{3}$，结合正切函数的图象和性质，可得θ的取值范围．

解答 解：（1）当θ=-$\frac{π}{6}$时，函数f（x）=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-1的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$为对称轴的抛物线，
∵x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
∴当x=-$\sqrt{3}$时，函数取最大值4，当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，函数取最小值-$\frac{4}{3}$；
（2）函数f（x）=x²+2x•tanθ-1的图象是开口朝上，且以直线x=-tanθ为对称轴的抛物线，
若f（x）在区间[-1，$\sqrt{3}$]上是单调函数，
则-tanθ≤-1，或-tanθ≥$\sqrt{3}$，
即tanθ≥1，或tanθ≤-$\sqrt{3}$，
∴θ∈（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ-$\frac{π}{3}$]∪[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．