Question

已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【解析】函数的定义域为，

（1）当时，函数，，．

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

（2）函数的定义域为．

1.当时，在上恒成立，

则在上恒成立，此时在上单调递减．

2.当时，，

（ⅰ）若，

由，即，得或；

由，即，得．

所以函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为．  

（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增．  

（Ⅲ））因为存在一个使得，

则，等价于.

令，等价于“当 时，”.

对求导，得.

因为当时，，所以在上单调递增.

所以，因此.  

另解：设，定义域为，

.

依题意，至少存在一个，使得成立，

等价于当 时，.  

（1）当时，

在恒成立，所以在单调递减，只要，

则不满足题意.……   12分

（2）当时，令得.

（ⅰ）当，即时，

在上，所以在上单调递增，

所以，由得，，所以.

（ⅱ）当，即时，

在上，所以在单调递减，

所以，由得

（ⅲ）当，即时， 在上，在上，

所以在单调递减，在单调递增，

，等价于或，解得，所以，. 分

综上所述，实数的取值范围为.