Question

【题目】已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆G： 的左、右焦点，点M是椭圆上一点，且MF2⊥F1F2 ， |MF1|﹣|MF2|= a．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|MF1|﹣|MF2|= a，|MF1|+|MF2|=2a，

∴|MF1|= ，|MF2|= ，

∵MF2⊥F1F2，∴ ．

即 ，则 ，

∵c2=a2﹣4，∴a2=12，

∴椭圆

（2）解：设直线l的方程为y=x+m．

由 ，得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①

设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），

则 ， ．

∵AB是等腰△PAB的底边，∴PE⊥AB．

∴PE的斜率 ，解得m=2．

此时方程①为4x2+12x=0，解得x1=﹣3，x2=0，∴y1=﹣1，y2=2，

∴|AB|=3 ．

此时，点P（﹣3，2）到直线AB：x﹣y+2=0的距离d= ，

∴△PAB的面积S=

【解析】（1）本题关键是由MF2⊥F1F2得到|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2；（2）设出直线l的方程，借助一元二次方程根与系数的关系表示出PE的斜率，再结合PE⊥AB求得直线l的方程，即可求得三角形PAB的面积.
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．