Question

【题目】已知点，圆.

（Ⅰ）若直线过点且到圆心的距离为1，求直线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与圆交于两点（的斜率为正），当时，求以线段为直径的圆的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ） .

【解析】试题分析： 把圆的方程变为标准方程后，分两种情况，①当直线的斜率存在时，因为直线经过点，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离，让等于列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，根据的值和的坐标写出直线的方程；②当直线的斜率不存在时，直线的方程为；

设直线的方程为，根据点到直线距离可以求出的值，再次联立直线与圆的方程解得中点坐标，即可以求出以线段为直径的圆的方程

解析：（Ⅰ）由题意知，圆的标准方程为： ，

∴圆心，半径，

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

∴，解得，

∴直线的方程为，即.

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线到圆心的距离为1，符合题意.

综上，直线的方程为或.

（Ⅱ）设过点的直线的方程为即，

则圆心到直线的距离，

解得，∴直线的方程为即，

联立直线与圆的方程得,

消去得，则中点的纵坐标为，

把代入直线中得，∴ 中点的坐标为，

由题意知，所求圆的半径为： ，

∴以线段为直径的圆的方程为： .