Question

【题目】若函数是定义在实数集上的奇函数，并且在区间上是单调递增的函数.

（1）研究并证明函数在区间上的单调性；

（2）若实数满足不等式，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）设，则，所以，根据在区间上是单调递增，可得，从而可得函数在区间上是单调递减函数；（2）先证明在区间上是单调递增的函数，根据奇偶性可得在区间上是单调递增的函数，再将变形为，可得，进而可得实数的取值范围.

试题解析：（1）设， 显然恒成立.

设，则， ， ，

则，

所以，

又在区间上是单调递增，所以 ，

即，

所以函数在区间上是单调递减函数.

（2）因为是定义在实数集上的奇函数，所以，

又因为在区间上是单调递增的函数，

所以当时， ，

当时， ， ，

所以当，有.

设，则，所以，

即，所以，

所以在区间上是单调递增的函数.

综上所述， 在区间上是单调递增的函数.

所以由得，

即所以.