Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据题意可知f（x）=g（x）+h（x），再根据奇偶性求出f（-x），从而建立方程组，解之即可求出g（x）和h（x）的解析式；
（II）先对函数f（x）进行配方求出对称轴，根据在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，建立关系式可求出a的范围，然后根据函数g（x）=（a+1）x是减函数，建立关系求出a的范围，从而分别求出命题P为真的条件和命题Q为真的条件，最后根据命题P、Q有且仅有一个是真命题求出a的范围即可．

解答：解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）

g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2 -g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2

解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|

（II）∵函数f（x）=(x+

a+1

2

)2-

(a+1)2

4

+lg|a+2|
在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，
∴（a+1）²≥-

a+1

2

解得a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2
又由函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
∴命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2
命题Q为真的条件是：a＜-1且a≠-2．
又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，∴a＞-

3

2

点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数的奇偶性与单调性，同时考查了命题的真假的运用，属于综合题．