Question

设双曲线C：(a>0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B，

  (1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

 (Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值．

Answer 1

(1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1．

将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1．

=(x1，y1)·(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3．

   

所以与夹角的大小为π-arc cos (Ⅱ)由题设得 (x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，

即   ①

                         ②

由②得y22=λ2y21．∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1 ③

联立①、③解得x2=λ，依题意有λ>0，∴B(λ，2  )或B (λ，-2  )，又9(1，0)，得直线l方程为(λ-1)y= (x-1)或(λ-1)y=2(x-1)．当λ∈[4，9]时，l在 y轴上的截距为或-

由=，可知：在[4，9]上是递减的，

∴≤≤，-≤-≤-

直线l在y轴上截距的变化范围为[-，- ]∪[，]．