Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（Ⅰ）若|f（x）|=g（x）有两个不同的解，求a的值；
（Ⅱ）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求h（x）=|f（x）|+g（x）在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解方程|f（x）|=g（x），根据积商符号法则转化为两个绝对值不等式的根的问题；
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）恒成立即（x²-1）≥a|x-1|对x∈R恒成立，对x进行讨论，分离参数，转化为函数的最值问题求解；（Ⅲ）去绝对值，分段求函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），
即|x²-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，
从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|x+1|=a
“有且仅有一个不等于1的解”或
“有两解，一解为1，另一解不等于1”
得a=0或a=2
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，
即（x²-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R
②当x≠1时，（*）可变形为a≤

x2-1

|x-1|

，
令φ(x)=

x2-1

|x-1|

=

x+1，(x＞1) -(x+1)，(x＜1)

，
因为当x＞1时，φ（x）＞2；而当x＜1时，φ（x）＞-2．
所以g（x）＞-2，故此时a≤-2
综合①②，得所求a的取值范围是a≤-2
（Ⅲ）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|
=

x2+ax-a-1，(x≥1) -x2-ax+a+1，(-1≤x＜1) x2-ax+a-1，(x＜-1)

，
1）当

a

2

＞1，即a＞2时，
h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，
经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3
2）当0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2时，
h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上递减，
在[-1，-

a

2

]上[1，2]上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3
3）当-1≤

a

2

＜0，即-2≤a＜0时，
h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上递减，
在[-1，-

a

2

]，[1，2]上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
经比较知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3
4）当-

3

2

≤

a

2

＜-1，即-3≤a＜-2时，
h（x）在[-2，

a

2

]，[1，-

a

2

]上递减，
在[

a

2

，1]，[-

a

2

，2]上递增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
经比较知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3
5）当

a

2

＜-

3

2

，即a＜-3时，
h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h（x）在[-2，2]上的最大值为h（1）=0
综上所述，当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3；
当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；
当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0．

点评：考查绝对值方程、不等式和最值问题的求法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想方法，特别是（Ⅲ）难度较大，很好的考查分析问题、解决问题的能力．属难题．