Question

若数列A：a₁，a₂，…，a_n（n≥2）满足|a_k+1-a_k|=1 （k=1，2，…，n-1），则称A_n为E数列。记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n。
（Ⅰ）写出一个E数列A₅满足a₁=a₃=0；
（Ⅱ）若a₁=12，n=2000，证明：E数列A_n是递增数列的充要条件是a_n=2011；
（Ⅲ）在a₁=4的E数列A_n中，求使得S（A_n）=0成立的n的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A₅（答案不唯一）；
（Ⅱ）必要性：因为E数列A_n是递增数列，
所以，
所以A_n是首项为12，公差为1的等差数列，
所以a₂₀₀₀=12+（2000-1）×1=2011；
充分性：由于a₂₀₀₀-a₁₉₉₉≤1，
a₁₉₉₉-a₁₉₉₈≤1，
…… ，
a₂-a₁≤1，
所以a₂₀₀₀-a₁≤1999，
即a₂₀₀₀≤a₁+1999，
又因为a₁=12，a₂₀₀₀=2011， 所以a₂₀₀₀=a₁+1999，
故，即A_n是递增数列；
综上，结论得证。
（Ⅲ）对于首项为4的数列A_n，由于，…，a₈≥a₇-1≥-3，
所以，所以a₁+a₂+…+a_k＞0（k=2，3，…，8），
所以对任意的首项为4的E数列A_n，
若S（A_n）=0，则必有n≥9，
又a₁=4的E数列A₉：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4满足S（A₉）=0，
所以n的最小值是9．