Question

【题目】平面直角坐标系中，已知椭圆:的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆，为椭圆上一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点Q．

（i）若为椭圆上任意一点，求的值；

（ii）若点坐标为，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）（i）2（ii）．

【解析】

（1）根据和，可得到，代入点到椭圆的方程，解出和的值即可得解；

（2）（i）先由（1）中的结论得出椭圆E的方程，设点，写出射线的方程，再将其代入椭圆的方程可得到点的坐标，然后利用两点间距离公式分别求出，并作比即可得解；

（ii）利用点到直线的距离公式可得到点到直线的距离，联立直线的方程与椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，然后利用弦长公式求出，即可表示出的面积，再结合换元法和对勾函数的性质即可求得面积的最大值．

（1）由题意可知，，

∵，∴，

又椭圆过点，∴，解得，∴，

∴椭圆C的方程为．

（2）（i）由（1）可知，椭圆E的方程为，设点，

∴射线的方程为，代入可得点，

∴．

（ii）∵，∴过点P的直线为，

∵点Q到直线AB的距离等于原点O到直线AB距离的3倍，

∴，

联立，得，

∴弦长，

∴面积，

令，则，

当且仅当时，等号成立．

故面积的最大值为．