Question

【题目】已知函数（）.

（Ⅰ）若在点处的切线与轴平行，且在区间上存在最大值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，求不等式恒成立时的最小整数值.

Answer 1

【答案】（1）（2）的最小整数值为.

【解析】

试题（1）由导数几何意义得，解得.再根据的正负讨论导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值取法（2）根据变量分类法得最大值，利用导数研究函数最大值，其中，因此化简得，最后根据基本不等式求得最大值，再根据得的最小整数值为.

试题解析：解：（Ⅰ） .

∵在点处的切线与轴平行，∴，∴.

因此，

当时，在区间上为正，在区间上为负，因此在区间上为增函数，在区间上为减函数，即函数在处取得唯一的极大值，即为最大值；

当时，在上为减函数，在为增函数，即函数有最小值，无最大值.

因此实数的取值范围是.

（Ⅱ）当时，设，在区间上为减函数，

又，，

因此存在唯一实数，使，

由此得到，；

此时在区间上为增函数，在区间上为减函数，

由单调性知 ，

又，故，

因此恒成立时，即的最小整数值为.