Question

已知函数f（x）=x³-ax²-x+a，其中a为实数．
（1）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用f′（-1）=0，确定函数的解析式，进而可求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（2）导函数图象开口向上，且恒过点（0，-1），根据f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是递增的，可得a的取值范围．

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-1，∴f′（-1）=3+2a-1=0 
∴a=-1，∴f（x）=x³+x²-x-1
∴f′（x）=3x²+2x-1
由f′（x）=0 可得 x=

1

3

或x=-1
又∵f(

1

3

)=-

32

27

，f(-2)=-3，f(3)=32，f(-1)=0 
∴f（x）在[-2，3]上的最小值为-3，最大值为32；
（2）f′（x）=3x²-2ax-1，图象开口向上，且恒过点（0，-1）
由条件f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是递增的，可得：f^′（-2）≥0，∴11+4a≥0，∴a≥-

11

4

 
f′（3）≥0，∴26-6a≥0，∴a≤

13

3

 
∴a的取值范围是[-

11

4

，

13

3

]

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值与单调性，考查解不等式，正确求导是关键．