Question

15．定义sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{-1（x＜0）}\end{array}$已知函数f（x）=a^x+$\frac{sgn（x）}{{a}^{|x|}}$（a＞0且a≠1）．
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）若f（1）=$\frac{5}{2}$，且不等式f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x＞0时，$f（x）={a^x}+\frac{1}{a^x}≤2$；当x＜0时，f（x）=a^x-a^x=0≤2恒成立；当x=0时，f（x）=1≤2成立．由此能求出不等式f（x）≤2的解集；
（2）由f（1）=a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$，得$a=2或\frac{1}{2}$，从而${2^{2t}}+\frac{1}{{{2^{2t}}}}+m（{2^t}+\frac{1}{2^t}）+4≥0$，令$u={2^t}+\frac{1}{2^t}（t＞0）$，得$m≥-（u+\frac{2}{u}）在u∈（2，+∞）$上恒成立，由此能示出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵定义sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{-1（x＜0）}\end{array}$，函数f（x）=a^x+$\frac{sgn（x）}{{a}^{|x|}}$（a＞0且a≠1）．
∴当x＞0时，$f（x）={a^x}+\frac{1}{a^x}≤2$，∴a^x=1，∴x=0舍去；
当x＜0时，f（x）=a^x-a^x=0≤2恒成立；
当x=0时，f（x）=1≤2成立；
综上：不等式f（x）≤2的解集为（-∞，0]．
（2）∵$f（1）=\frac{5}{2}$，∴f（1）=a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$，
解得$a=2或\frac{1}{2}$，
∵f（2t）+mf（t）+4≥0恒成立，∴${2^{2t}}+\frac{1}{{{2^{2t}}}}+m（{2^t}+\frac{1}{2^t}）+4≥0$，
令$u={2^t}+\frac{1}{2^t}（t＞0）$，∴u∈（2，+∞），
∴u²+mu+2≥0恒成立，∴$m≥-（u+\frac{2}{u}）在u∈（2，+∞）$上恒成立，
又$-（u+\frac{2}{u}）在（2，+∞）$上单调递减，∴$-（u+\frac{2}{u}）＜-3$，
解得m≥-3．
∴实数m的取值范围是[-3，+∞）．

点评 本题考查不等式的解集的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想、换元法的合理运用．