Question

5．已知以T=4为周期的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈（-1，1]}\\{m（1-|x-2|），x∈（1，3]}\end{array}\right.$，其中m＞0，若函数g（x）=3f（x）-x恰有5个不同零点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （2，$\frac{8}{3}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，2）
• C． （2，$\frac{10}{3}$）
• D． （$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）

Answer 1

分析 根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]时，f（x）的图象为半径为1的半圆．当x∈（1，3]，[7，7]，[9，11]时，f（x）的图象是等腰三角形，根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=$\frac{x}{3}$与前两个等腰三角形有两个交点，而与第三个等腰三角形不相交，由此可求得m的范围．

解答 解：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x²+y²=1（y≥0），
∴实质上为一个半径为1半圆，
其图象如图所示，
同时在坐标系中作出
当x∈（1，3]时，
y=m（1-|x-2|），
0≤1-|x-2|）＜1的图象，
其图象为等腰三角形，
再根据周期性作出函数其它部分的图象，
当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]时，f（x）的图象为半径为1的半圆．
当x∈（1，3]，[7，7]，[9，11]时，f（x）的图象是等腰三角形，
∵函数g（x）=3f（x）-x恰有5个不同零点，
∴需直线y=$\frac{x}{3}$与前两个等腰三角形有两个交点，而与第三个等腰三角形不相交
∴由图象知直线y=$\frac{x}{3}$与第一个等腰三角形有两个交点，与第二个等腰三角形没有交点，
∴2＜m＜$\frac{10}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．