Question

5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{5}$，BC=3，M，N分别为B₁C₁，AA₁的中点．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）判断MN与 平面ABC₁的位置关系，并求四面体ABC₁M的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥AC，AA₁⊥AB，从而AB⊥平面AA₁C₁C，由此能证明平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）取BB₁中点D，推导出四边形ABB₁A₁为平行四边形，从而DN∥AB，进而平面MND∥平面ABC₁．推导出N到平面ABC₁的距离即为M到平面ABC₁的距离．再由${V}_{四面体AB{C}_{1}M}={V}_{M-AB{C}_{1}}$，能求出四面体ABC₁M的体积．

解答 证明：（1）∵AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
又AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥AB，
又AC∩AA₁=A，∴AB⊥平面AA₁C₁C，
∵AB?平面ABC₁，∴平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．
解：（2）取BB₁中点D，∵M为B₁C₁中点，∴MD∥BC₁又N为AA₁中点，
四边形ABB₁A₁为平行四边形，∴DN∥AB，
又MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC₁．
∵MN?平面 MND，∴MN∥平面ABC₁，
∴N到平面ABC₁的距离即为M到平面ABC₁的距离．
过N作NH⊥AC₁于H，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，∴NH⊥平面ABC₁，
∴$NH=\frac{1}{2}×\frac{{A{A_1}×{A_1}{C_1}}}{{A{C_1}}}=\frac{1}{2}×\frac{{2×\sqrt{5}}}{3}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
∴M到平面ABC₁的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴四面体ABC₁M的体积${V_{四面体AB{C_1}M}}={V_{M-AB{C_1}}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×\frac{{\sqrt{5}}}{3}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．