Question

12．已知一个正方形的边长为1cm，以它的对角线为边作一个新的正方形，再以新的正方形的对角线为边作正方形，这样继续下去，共作36个正方形，那么第六个正方形（包括已知正方形）的边长是$（\sqrt{2}）^{5}$，这6个正方形的面积和是63．

Answer 1

分析 由题意和等比数列的定义可知：各个、面积依次正方形的边长构成一个等比数列，分别求出首项和公比，利用等比数列的通项公式、前n项和公式求出答案．

解答 解：由题意得，各个正方形的边长构成一个等比数列，首项是1、公比是$\sqrt{2}$，
所以第六个正方形的边长是1×$（\sqrt{2}）^{5}$=$（\sqrt{2}）^{5}$，
各个正方形的面积依次依次构成一个等比数列，首项是1、公比是2，
所以这6个正方形的面积和S=$\frac{1-{2}^{6}}{1-2}$=63，
故答案为：$（\sqrt{2}）^{5}$；63．

点评 本题考查等比数列的实际应用，以及等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，属于中档题．