Question

9．已知函数$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx$，a∈R．
（1）若a=1，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（2）设函数$g（x）=-\frac{a}{x}$．若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出当a=1时，f（x）的导数，判断符号，进而得到是否存在极值；
（2）存在一个x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），则ax₀＞2lnx₀，等价于a＞$\frac{2ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，令F（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{\;}}$，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）_min”．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，x＞0，
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0．
即有f（x）在（0，+∞）递增，函数f（x）不存在极值；
（2）因为存在一个x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
则ax₀＞2lnx₀，等价于a＞$\frac{2ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
令F（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{\;}}$，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）_min”．
得F′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$
可得到当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．
当所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．
∴实数a的取值范围为（0，+∞）．

点评 题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．属于中档题．