Question

3．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：
①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（2）=-1
（I）求f（1）和f（$\frac{1}{4}$）的值；
（II）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（III）求满足f（3x²-x）＞2的x的取值集合．

Answer 1

分析 （I）对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；f（2）=-1，令a=1，b=2，可得f（1）的值，令a=b=2，可得f（4）的值，令a=4，b=$\frac{1}{4}$可得f（$\frac{1}{4}$）的值，
（II）利用定义法直接证明；
（III）利用（I）（II）得到的性质和结论，转化为不等式求解．

解答 解：（I）由题意：对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；
令a=1，b=2，可得f（1）+f（2）=f（2）；
解得：f（1）=0，
令a=2，b=2，可得f（2）+f（2）=f（4）
解得：f（4）=-2，
再令a=4，b=$\frac{1}{4}$可得f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=f（1）
解得：f（$\frac{1}{4}$）=2．
（II）利用定义证明：设x₁＜x₂，x₁、x₂∈（0，+∞），
∵$f（{x}_{1}）+f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）=f（{x}_{2}）$
则f（x₂）-f（x₁）=$f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）$，
由$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}＞1$，当x＞1时，f（x）＜0；
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（III）由（I）得知f（$\frac{1}{4}$）=2，
∴不等式f（3x²-x）＞2转化为f（3x²-x）＞f（$\frac{1}{4}$）
由（II）函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-x＞0}\\{3{x}^{2}-x＜\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得：-6＜x＜0或$\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{2}$．
故得f（3x²-x）＞2的解集为：（-6，0）∪（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了抽象函数的性质及其运用能力，单调性的证明和求解不等式的问题．属于中档题．