【题目】如图,三棱柱ABC-A1B1Cl中,M,N分别为CC1,A1B1的中点.
(I)证明:直线MN//平面CAB1;
(II)BA=BC=BB1,CA=CB1,CA⊥CB1,∠ABB1=60°,求平面AB1C和平面A1B1C1所成的角(锐角)的余弦值.
【答案】(1)解析(2)
【解析】试题分析:(1)设与
交于点
,根据平几知识可得四边形
是平行四边形,即有
.再根据线面平行判定定理可得直线
平面
.(2)求二面角,一般利用空间向量进行求解,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角之间关系求解
试题解析:证明:(Ⅰ)
设
与
交于点
,连接
,
因为四边形是平行四边形,所以是
是
的中点,
是
的中点,所以
.
又因为是
的中点,所以
.
所以,所以四边形
是平行四边形,
所以.
又因为平面
,
平面
,
所以直线平面
.
(Ⅱ)因为,所以平行四边形
是菱形,所以
.
又因为,所以
.
又且
是
的中点,所以
.又因为
,所以
≌
,
所以,故
,从而
两两垂直.
以为坐标原点,
所在直线分别为
轴建立如图空间直角坐标系
,
设
,因为
,
,
所以是等边三角形,所以
,
,
,
.
因为两两垂直,所以
平面
,
所以是平面
的一个法向量;
设
是平面
的一个法向量,则
,即
,令
,得
,所以
,
所以
所以平面和平面
所成的角(锐角)的余弦值为
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【题目】某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目, 两队各有六名选手参赛,将他们首轮的比赛成绩作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示,为了增加节目的趣味性,主持人故意将
队第六位选手的成绩没有给出,并且告知大家
队的平均分比
队的平均分多4分,同时规定如果某位选手的成绩不少于21分,则获得“晋级”.
(1)根据茎叶图中的数据,求出队第六位选手的成绩;
(2)主持人从队所有选手成绩中随机抽2个,求至少有一个为“晋级”的概率;
(3)主持人从两队所有选手成绩分别随机抽取2个,记抽取到“晋级”选手的总人数为
,求
的分布列及数学期望.
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【题目】如图是一个边长为的正三角形和半圆组成的图形,现把
沿直线AB折起使得与圆所在平面垂直,已知点C是半圆的一个三等分点(靠左边一点),点E是线段PB上的点,(1)当点E是PB的中点时,在圆弧上找一点Q,使得
平面
;(2)当二面角
的正切值为
时,求BE的长。
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【题目】设F1,F2分别是椭圆E: (a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|BF1|,若cos∠AF2B=
,则椭圆E的离心率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知焦距为2的椭圆W: (a>b>0)的左、右焦点分别为A1,A2,上、下顶点分别为B1,B2,点M(x0,y0)为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点,且四条直线MA1,MA2,MB1,MB2的斜率之积为
.
(1)求椭圆W的标准方程;
(2)如图所示,点A,D是椭圆W上两点,点A与点B关于原点对称,AD⊥AB,点C在x轴上,且AC与x轴垂直,求证:B,C,D三点共线.
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【题目】已知椭圆的上、下焦点分别为
,上焦点
到直线 4x+3y+12=0的距离为3,椭圆C的离心率e=
.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)设过椭圆C的上顶点A的直线与椭圆交于点B(B不在y轴上),垂直于
的直线与
交于点M,与
轴交于点H,若
=0,且
,求直线
的方程.
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【题目】近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国.某选拔赛后,随机抽取100名选手的成绩,按成绩由低到高依次分为第1,2,3,4,5组,制成频率分布直方图如下图所示:
(I)在第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手,求第3、4、5组每组各抽取多少名选手;
(II)在(I)的前提下,在5名选手中随机抽取2名选手,求第4组至少有一名选手被抽取的概率.
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【题目】甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的关系:厂里的固定成本为2.8万元,每生产1百台的生产成本为1万元,每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元)(总成本=固定成本+生产成本).如果销售收入R(x)= ,且该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),请完成下列问题:
(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本);
(2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?
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