Question

【题目】已知焦距为2的椭圆W： （a＞b＞0）的左、右焦点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，点M（x0，y0）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之积为．

（1）求椭圆W的标准方程；

（2）如图所示，点A，D是椭圆W上两点，点A与点B关于原点对称，AD⊥AB，点C在x轴上，且AC与x轴垂直，求证：B，C，D三点共线．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．

（2）联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．

试题解析：

（1）由题意可知：2c=2，c=1，a2-b2=1，

∵M（x0，y0）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，

∴，=（a2-），=（b2-），

==，

==（）2=，则a2=2b2，

∴a2=2，b2=1，

∴椭圆W的标准方程；

（2）证明：不妨设点A（x1，1），D（x2，y2），B的坐标（-x1，-y1），C（x1，0），

∵A，D在椭圆上，，=0，即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0，

∴=-，

由AD⊥AB，

∴kADkAB=-1，=-1，（-，）=-1，

∴=，

∴kBD-kBC=-=-=0，

kBD=kBC，

∴B，C，D三点共线．